Τεχνητή Νοημοσύνη: Λύνει ‘Αδύνατα’ Μαθηματικά Προβλήματα;

Η Τεχνητή Νοημοσύνη (AI) έχει πλέον καταφέρει να λύσει αρκετά δύσκολα προβλήματα στα μαθηματικά. Πόσο κοντά είναι στο να αντικαταστήσει τους καλύτερους μαθηματικούς του κόσμου;

Τον Οκτώβριο του 2024, δημοσιεύτηκε η είδηση ότι η Meta, η μητρική εταιρεία του Facebook, είχε λύσει ένα “αδύνατο” πρόβλημα που είχε προβληματίσει τους μαθηματικούς για έναν αιώνα.

Σε αυτή την περίπτωση, όμως, οι λύτες δεν ήταν άνθρωποι.

Ένα μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης (AI) που αναπτύχθηκε από τη Meta καθόρισε εάν οι λύσεις των εξισώσεων που διέπουν ορισμένα δυναμικά μεταβαλλόμενα συστήματα – όπως η ταλάντευση ενός εκκρεμούς ή η ταλάντωση ενός ελατηρίου – θα παραμείνουν σταθερές και, συνεπώς, προβλέψιμες για πάντα.

Το κλειδί για το πρόβλημα ήταν η εύρεση των συναρτήσεων Lyapunov, οι οποίες καθορίζουν τη μακροπρόθεσμη σταθερότητα αυτών των συστημάτων.

Η δουλειά της Meta έκανε πρωτοσέλιδα και δημιούργησε μια πιθανότητα που κάποτε θεωρούνταν καθαρή φαντασία: ότι η AI θα μπορούσε σύντομα να ξεπεράσει τους καλύτερους μαθηματικούς του κόσμου λύνοντας μαζικά τα κορυφαία “άλυτα” προβλήματα των μαθηματικών.

Ωστόσο, μετά από πιο προσεκτική εξέταση, οι μαθηματικοί ήταν λιγότερο εντυπωσιασμένοι. Η AI βρήκε συναρτήσεις Lyapunov για το 10,1% των τυχαία δημιουργημένων προβλημάτων που της τέθηκαν. Αυτή ήταν μια σημαντική βελτίωση σε σχέση με το 2,1% που είχαν λυθεί από προηγούμενους αλγορίθμους, αλλά σε καμία περίπτωση δεν αποτελούσε ένα τεράστιο άλμα προς τα εμπρός. Επιπλέον, το μοντέλο χρειαζόταν σημαντική βοήθεια από ανθρώπους για να καταλήξει στις σωστές λύσεις.

Ένα παρόμοιο σενάριο διαδραματίστηκε νωρίτερα φέτος, όταν η Google ανακοίνωσε ότι το εργαστήριό της για την έρευνα της AI, DeepMind, είχε ανακαλύψει νέες λύσεις στις εξισώσεις Navier-Stokes της ρευστοδυναμικής. Οι λύσεις ήταν εντυπωσιακές, αλλά η AI απείχε ακόμα πολύ από την επίλυση του πιο γενικού προβλήματος που σχετίζεται με τις εξισώσεις, το οποίο θα χάριζε στους λύτες του το Millennium Prize του 1 εκατομμυρίου δολαρίων.

Πέρα από τη διαφημιστική εκστρατεία, πόσο κοντά είναι η AI στο να αντικαταστήσει τους καλύτερους μαθηματικούς του κόσμου; Για να μάθουμε, ρωτήσαμε μερικούς από τους καλύτερους μαθηματικούς του κόσμου.

Ενώ ορισμένοι ειδικοί ήταν δύσπιστοι σχετικά με τις ικανότητες επίλυσης προβλημάτων της AI βραχυπρόθεσμα, οι περισσότεροι σημείωσαν ότι η τεχνολογία αναπτύσσεται με τρομακτική ταχύτητα. Ορισμένοι μάλιστα υπέθεσαν ότι, όχι πολύ στο μέλλον, η AI μπορεί να είναι σε θέση να λύσει δύσκολες εικασίες – μη αποδεδειγμένες μαθηματικές υποθέσεις – σε μαζική κλίμακα, να εφεύρει νέους τομείς μελέτης και να αντιμετωπίσει προβλήματα που δεν είχαμε καν σκεφτεί.

“Νομίζω ότι αυτό που θα συμβεί πολύ σύντομα – στην πραγματικότητα, τα επόμενα λίγα χρόνια – είναι ότι οι AI θα γίνουν αρκετά ικανές ώστε να μπορούν να σαρώσουν τη βιβλιογραφία στην κλίμακα των χιλιάδων – καλά, ίσως εκατοντάδων, δεκάδων χιλιάδων εικασιών”, δήλωσε ο Terence Tao, μαθηματικός στο UCLA, ο οποίος κέρδισε το Fields Medal (ένα από τα πιο διάσημα μετάλλια των μαθηματικών) για τις βαθιές συνεισφορές του σε μια εξαιρετική γκάμα διαφορετικών μαθηματικών προβλημάτων. “Και έτσι θα δούμε αυτό που αρχικά θα φανεί αρκετά εντυπωσιακό, με χιλιάδες εικασίες να λύνονται ξαφνικά. Και μερικές από αυτές μπορεί να είναι στην πραγματικότητα αρκετά υψηλού προφίλ.”

Από τα παιχνίδια στην αφηρημένη λογική

Για να κατανοήσουμε πού βρισκόμαστε στον τομέα των μαθηματικών που βασίζονται στην AI, βοηθά να εξετάσουμε πώς η AI προχώρησε σε συναφείς τομείς. Τα μαθηματικά απαιτούν αφηρημένη σκέψη και πολύπλοκη λογική πολλαπλών βημάτων. Οι εταιρείες τεχνολογίας έκαναν νωρίς προσπάθειες σε τέτοιου είδους σκέψη εξετάζοντας σύνθετα, λογικά παιχνίδια πολλαπλών βημάτων.

Τη δεκαετία του 1980, οι αλγόριθμοι της IBM άρχισαν να σημειώνουν πρόοδο σε παιχνίδια όπως το σκάκι. Έχουν περάσει δεκαετίες από τότε που το Deep Blue της IBM νίκησε τον τότε καλύτερο σκακιστή του κόσμου, Garry Kasparov, και περίπου μια δεκαετία από τότε που το DeepMind της Alphabet νίκησε τον καλύτερο παίκτη Go της εποχής, Lee Sedol. Πλέον, τα συστήματα AI είναι τόσο καλά σε τέτοια μαθηματικά παιχνίδια που δεν υπάρχει λόγος για αυτούς τους διαγωνισμούς, επειδή η AI μπορεί να μας κερδίσει κάθε φορά.

Αλλά τα καθαρά μαθηματικά διαφέρουν από το σκάκι και το Go σε θεμελιώδη βαθμό: Ενώ τα δύο επιτραπέζια παιχνίδια είναι πολύ μεγάλα αλλά τελικά περιορισμένα (ή, όπως θα έλεγαν οι μαθηματικοί, “πεπερασμένα”) προβλήματα, δεν υπάρχουν όρια στο εύρος, το βάθος και την ποικιλία των προβλημάτων που μπορούν να αποκαλύψουν τα μαθηματικά.

Κατά πολλούς τρόπους, τα μοντέλα επίλυσης μαθηματικών της AI βρίσκονται εκεί όπου βρίσκονταν οι αλγόριθμοι παιχνιδιού σκακιού πριν από μερικές δεκαετίες. “Κάνουν πράγματα που οι άνθρωποι γνωρίζουν ήδη πώς να κάνουν”, δήλωσε ο Kevin Buzzard, μαθηματικός στο Imperial College London.

“Οι υπολογιστές σκακιού έγιναν καλοί και μετά έγιναν καλύτεροι και μετά έγιναν καλύτεροι”, είπε ο Buzzard στο Live Science. “Αλλά τότε, σε κάποιο σημείο, νίκησαν τον καλύτερο άνθρωπο. Το Deep Blue νίκησε τον Garry Kasparov. Και εκείνη τη στιγμή, μπορείτε να πείτε, ‘ΟΚ, τώρα συνέβη κάτι ενδιαφέρον'”.

Αυτή η ανακάλυψη δεν έχει συμβεί ακόμη για τα μαθηματικά, υποστήριξε ο Buzzard.

“Στα μαθηματικά δεν έχουμε ακόμη αυτή τη στιγμή που ο υπολογιστής λέει, ‘Ω, εδώ είναι μια απόδειξη ενός θεωρήματος που κανένας άνθρωπος δεν μπορεί να αποδείξει'”, είπε ο Buzzard.

Μαθηματική ιδιοφυΐα;

Ωστόσο, πολλοί μαθηματικοί είναι ενθουσιασμένοι και εντυπωσιασμένοι από τη μαθηματική ικανότητα της AI. Ο Ken Ono, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Βιρτζίνια, παρακολούθησε φέτος τη συνάντηση “FrontierMath” που διοργάνωσε η OpenAI. Στον Ono και σε περίπου 30 άλλους κορυφαίους μαθηματικούς του κόσμου ανατέθηκε να αναπτύξουν προβλήματα για το o4-mini – ένα λογικό μεγάλο γλωσσικό μοντέλο από την OpenAI – και να αξιολογήσουν τις λύσεις του.

Αφού παρακολούθησε το chatbot που εκπαιδεύτηκε σε μεγάλο βαθμό από ανθρώπους εν δράσει, ο Ono είπε: “Δεν έχω ξαναδεί τέτοιου είδους λογική σε μοντέλα. Αυτό κάνει ένας επιστήμονας. Αυτό είναι τρομακτικό.” Υποστήριξε ότι δεν ήταν μόνος στον μεγάλο του έπαινο για την AI, προσθέτοντας ότι έχει “συναδέλφους που κυριολεκτικά είπαν ότι αυτά τα μοντέλα πλησιάζουν τη μαθηματική ιδιοφυΐα.”

Για τον Buzzard, αυτοί οι ισχυρισμοί φαίνονται υπερβολικοί. “Το θέμα είναι, έχει ποτέ κανένα από αυτά τα συστήματα πει κάτι ενδιαφέρον που δεν γνωρίζαμε ήδη;” ρώτησε ο Buzzard. “Και η απάντηση είναι όχι.”

Αντίθετα, ο Buzzard υποστηρίζει ότι η μαθηματική ικανότητα της AI φαίνεται σταθερά στο βασίλειο του συνηθισμένου, αν και μαθηματικά ταλαντούχου, ανθρώπου. Αυτό το καλοκαίρι και το περασμένο, τα ειδικά εκπαιδευμένα μοντέλα AI αρκετών εταιρειών τεχνολογίας προσπάθησαν να απαντήσουν στις ερωτήσεις από τη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (IMO), το πιο διάσημο τουρνουά για “μαθητές” γυμνασίου σε όλο τον κόσμο. Το 2024, τα συστήματα AlphaProof και AlphaGeometry 2 της Deepmind συνδυάστηκαν για να λύσουν τέσσερα από τα έξι προβλήματα, συγκεντρώνοντας συνολικά 28 βαθμούς – το αντίστοιχο ενός ασημένιου μεταλλίου IMO. Αλλά η AI αρχικά απαιτούσε από τους ανθρώπους να μεταφράσουν τα προβλήματα σε μια ειδική γλώσσα υπολογιστή πριν μπορέσει να ξεκινήσει την εργασία. Στη συνέχεια, χρειάστηκαν αρκετές ημέρες υπολογιστικού χρόνου για την επίλυση των προβλημάτων – πολύ έξω από το χρονικό όριο των 4,5 ωρών που επιβάλλεται στους ανθρώπινους συμμετέχοντες.

Το τουρνουά φέτος είδε ένα σημαντικό άλμα προς τα εμπρός. Το Gemini Deep Think της Google έλυσε πέντε από τα έξι προβλήματα εντός του χρονικού ορίου, συγκεντρώνοντας συνολικά 35 βαθμούς. Αυτό είναι το είδος της απόδοσης που, σε έναν άνθρωπο, θα ήταν άξιο ενός χρυσού μεταλλίου – ένα κατόρθωμα που επιτυγχάνεται από λιγότερο από το 10% των καλύτερων μαθητών μαθηματικών του κόσμου.

Προβλήματα επιπέδου έρευνας

Αν και τα πιο πρόσφατα αποτελέσματα της IMO είναι εντυπωσιακά, είναι συζητήσιμο εάν η αντιστοίχιση της απόδοσης των κορυφαίων μαθητών μαθηματικών γυμνασίου χαρακτηρίζεται ως “επίπεδο ιδιοφυΐας”.

Μια άλλη πρόκληση στον προσδιορισμό της μαθηματικής ικανότητας της AI είναι ότι πολλές από τις εταιρείες που αναπτύσσουν αυτούς τους αλγορίθμους δεν δείχνουν πάντα τη δουλειά τους.

“Οι εταιρείες AI είναι κάπως κλειστές. Όσον αφορά τα αποτελέσματα, τείνουν να γράφουν την ανάρτηση στο blog, να προσπαθούν να γίνουν viral και δεν γράφουν ποτέ ξανά την εργασία”, δήλωσε ο Buzzard, του οποίου η δική του έρευνα βρίσκεται στη διεπαφή των μαθηματικών και της AI.

Ωστόσο, δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η AI μπορεί να είναι χρήσιμη στα μαθηματικά επιπέδου έρευνας.

Τον Δεκέμβριο του 2021, η έρευνα του μαθηματικού του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Marc Lackenby με το DeepMind ήταν στο εξώφυλλο του περιοδικού Nature.

Η έρευνα του Lackenby είναι στον τομέα της τοπολογίας, η οποία αναφέρεται μερικές φορές ως γεωμετρία (τα μαθηματικά των σχημάτων) με πλαστελίνη. Η τοπολογία ρωτά ποια αντικείμενα (όπως κόμποι, συνδεδεμένοι δακτύλιοι, πρέτσελ ή ντόνατς) διατηρούν τις ίδιες ιδιότητες όταν στρίβονται, τεντώνονται ή λυγίζουν. (Το κλασικό μαθηματικό αστείο είναι ότι οι τοπολόγοι θεωρούν ότι ένα ντόνατ και ένα φλιτζάνι καφέ είναι τα ίδια επειδή και τα δύο έχουν μια τρύπα.)

Ο Lackenby και οι συνάδελφοί του χρησιμοποίησαν την AI για να δημιουργήσουν εικασίες που συνδέουν δύο διαφορετικούς τομείς της τοπολογίας, τις οποίες αυτός και οι συνάδελφοί του συνέχισαν να προσπαθούν να αποδείξουν. Η εμπειρία ήταν διαφωτιστική.

Αποδείχθηκε ότι η εικασία ήταν λανθασμένη και ότι χρειαζόταν μια επιπλέον ποσότητα στην εικασία για να ήταν σωστή, είπε ο Lackenby στο Live Science.

Ωστόσο, η AI είχε ήδη δει αυτό, και η ομάδα “απλώς το είχε αγνοήσει ως λίγο θόρυβο”, είπε ο Lackenby.

Μπορούμε να εμπιστευτούμε την AI στα σύνορα των μαθηματικών;

Το λάθος του Lackenby ήταν να μην εμπιστεύεται αρκετά την AI. Αλλά η εμπειρία του μιλά για έναν από τους τρέχοντες περιορισμούς της AI στον τομέα των μαθηματικών έρευνας: ότι οι έξοδοί της εξακολουθούν να χρειάζονται ανθρώπινη ερμηνεία και δεν μπορούν να είναι πάντα αξιόπιστες.

“Ένα από τα προβλήματα με την AI είναι ότι δεν σου λέει ποια είναι αυτή η σύνδεση”, είπε ο Lackenby. “Έτσι, πρέπει να αφιερώσουμε αρκετό χρόνο και να χρησιμοποιήσουμε διάφορες μεθόδους για να κατανοήσουμε λίγο περισσότερο.”

Τελικά, η AI δεν έχει σχεδιαστεί για να λαμβάνει τη “σωστή” απάντηση. εκπαιδεύεται για να βρει την πιο πιθανή, δήλωσε ο Neil Saunders, μαθηματικός που μελετά τη γεωμετρική θεωρία αναπαράστασης στο City St George’s, Πανεπιστήμιο του Λονδίνου και συγγραφέας του επερχόμενου βιβλίου “AI (r)Evolution” (Chapman and Hall, 2026).

“Αυτή η πιο πιθανή απάντηση δεν σημαίνει απαραίτητα ότι είναι η σωστή απάντηση”, είπε ο Saunders.

“Είχαμε καταστάσεις στο παρελθόν όπου ολόκληροι τομείς των μαθηματικών κατέστησαν βασικά επιλύσιμους από υπολογιστή. Δεν σήμαινε ότι τα μαθηματικά πέθαναν.” Terence Tao, UCLA

Η αναξιοπιστία της AI σημαίνει ότι δεν θα ήταν συνετό να βασιστούμε σε αυτήν για να αποδείξουμε θεωρήματα στα οποία κάθε βήμα της απόδειξης πρέπει να είναι σωστό, και όχι απλώς εύλογο.

“Δεν θα θέλατε να το χρησιμοποιήσετε στη σύνταξη μιας απόδειξης, για τον ίδιο λόγο που δεν θα θέλατε το ChatGPT να συντάξει το συμβόλαιο ασφάλισης ζωής σας”, είπε ο Saunders.

Παρά αυτούς τους πιθανούς περιορισμούς, ο Lackenby βλέπει την υπόσχεση της AI στη δημιουργία μαθηματικών υποθέσεων. “Τόσοι πολλοί διαφορετικοί τομείς των μαθηματικών συνδέονται μεταξύ τους, αλλά ο εντοπισμός νέων συνδέσεων είναι πραγματικά ενδιαφέρον και αυτή η διαδικασία είναι ένας καλός τρόπος για να δούμε νέες συνδέσεις που δεν θα μπορούσατε να δείτε πριν”, είπε.

Το μέλλον των μαθηματικών;

Η δουλειά του Lackenby αποδεικνύει ότι η AI μπορεί να είναι χρήσιμη στην πρόταση εικασιών που οι μαθηματικοί μπορούν στη συνέχεια να αποδείξουν. Και παρά τις επιφυλάξεις του Saunders, ο Tao πιστεύει ότι η AI θα μπορούσε να είναι χρήσιμη στην απόδειξη υπαρχουσών εικασιών.

Η πιο άμεση ανταμοιβή θα μπορούσε να μην είναι η αντιμετώπιση των πιο δύσκολων προβλημάτων, αλλά η συλλογή των πιο εύκολων, είπε ο Tao.

Τα προβλήματα μαθηματικών υψηλότερου προφίλ, στα οποία “δεκάδες μαθηματικοί έχουν ήδη αφιερώσει πολύ χρόνο δουλεύοντας – πιθανότατα δεν είναι δεκτικά σε κανένα από τα τυπικά αντιπαραδείγματα ή τις τεχνικές απόδειξης”, είπε ο Tao. “Αλλά θα υπάρξουν πολλοί που είναι.”

Ο Tao πιστεύει ότι η AI μπορεί να μεταμορφώσει τη φύση του τι σημαίνει να είσαι μαθηματικός.

“Σε 20 ή 30 χρόνια, μια τυπική εργασία που θα βλέπατε σήμερα μπορεί πράγματι να είναι κάτι που θα μπορούσατε να κάνετε αυτόματα στέλνοντάς την σε μια AI”, είπε. “Αντί να μελετάμε ένα πρόβλημα τη φορά για μήνες, που είναι ο κανόνας, θα μελετάμε 10.000 προβλήματα το χρόνο … και θα κάνουμε πράγματα που απλά δεν μπορείτε να ονειρευτείτε ότι θα κάνετε σήμερα.”

Αντί η AI να αποτελεί υπαρξιακή απειλή για τους μαθηματικούς, ωστόσο, πιστεύει ότι οι μαθηματικοί θα εξελιχθούν για να συνεργαστούν με την AI.

“Είχαμε καταστάσεις στο παρελθόν όπου ολόκληροι τομείς των μαθηματικών κατέστησαν βασικά επιλύσιμους από υπολογιστή”, είπε ο Tao. Σε ένα σημείο, είχαμε ακόμη και ένα ανθρώπινο επάγγελμα που ονομάζεται “υπολογιστής”, πρόσθεσε. Αυτή η δουλειά έχει εξαφανιστεί, αλλά οι άνθρωποι απλώς προχώρησαν σε πιο δύσκολα προβλήματα. “Δεν σήμαινε ότι τα μαθηματικά πέθαναν”, είπε ο Tao.

Ο Andrew Granville, καθηγητής θεωρίας αριθμών στο Πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ, είναι πιο επιφυλακτικός για το μέλλον του τομέα. “Η αίσθησή μου είναι ότι είναι πολύ ασαφές πού πηγαίνουμε”, είπε ο Granville στο Live Science. “Αυτό που είναι σαφές είναι ότι τα πράγματα δεν θα είναι τα ίδια. Αυτό που σημαίνει μακροπρόθεσμα για εμάς εξαρτάται από την προσαρμοστικότητά μας σε νέες συνθήκες.”

Ο Lackenby ομοίως δεν πιστεύει ότι οι ανθρώπινοι μαθηματικοί οδεύουν προς την εξαφάνιση.

Ενώ ο ακριβής βαθμός στον οποίο η AI θα διεισδύσει στο θέμα παραμένει αβέβαιος, είναι πεπεισμένος ότι το μέλλον των μαθηματικών είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με την άνοδο της AI.

“Νομίζω ότι ζούμε σε ενδιαφέρουσες εποχές”, είπε ο Lackenby. “Νομίζω ότι είναι σαφές ότι η AI θα έχει έναν αυξανόμενο ρόλο στα μαθηματικά.”

Συχνές Ερωτήσεις (FAQ)

• Ερώτηση: Μπορεί η Τεχνητή Νοημοσύνη (AI) να αντικαταστήσει τους μαθηματικούς;
• Απάντηση: Όχι πλήρως, τουλάχιστον όχι άμεσα. Η AI μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση προβλημάτων και τη δημιουργία εικασιών, αλλά χρειάζεται ακόμα ανθρώπινη ερμηνεία και επίβλεψη.
• Ερώτηση: Πώς η Τεχνητή Νοημοσύνη (AI) βοηθά στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων;
• Απάντηση: Η AI μπορεί να σαρώσει μεγάλο όγκο δεδομένων, να εντοπίσει μοτίβα και να προτείνει πιθανές λύσεις ή εικασίες που οι μαθηματικοί στη συνέχεια μπορούν να διερευνήσουν και να αποδείξουν.
• Ερώτηση: Είναι η τεχνητή νοημοσύνη στα μαθηματικά (AI στα μαθηματικά) πιο έξυπνη από έναν άνθρωπο;
• Απάντηση: Δεν είναι απαραίτητα πιο έξυπνη, αλλά πιο γρήγορη στην επεξεργασία δεδομένων και στην αναγνώριση μοτίβων. Δεν διαθέτει τη δημιουργική σκέψη και διαίσθηση που διαθέτουν οι άνθρωποι.

via